关于可积简单函数的博赫纳积分定义不依赖其具体表示形式的证明问询

嘿，我来帮你把这个证明补全并讲明白！

首先咱们先把问题再明确下：给定一个可积简单函数$f: E \rightarrow \mathbb{X}$，假设它有两种不同的表示形式：

• 形式1：$f(\omega) = \sum_{i=1}^k I_{E_i}(\omega) g_i$，其中每个$E_i \in \mathscr{B}$且$\mu(E_i) < \infty$
• 形式2：$f(\omega) = \sum_{j=1}^m I_{F_j}(\omega) h_j$，其中每个$F_j \in \mathscr{B}$且$\mu(F_j) < \infty$

我们要证明的是：$\sum_{i=1}^k \mu(E_i) g_i = \sum_{j=1}^m \mu(F_j) h_j$

证明步骤： #

1. 构造公共分割
   咱们取所有$E_i \cap F_j$的非空交集，记这些非空集合为$G_l$（其中$l$遍历所有使得$E_i \cap F_j \neq \emptyset$的$(i,j)$对）。显然，这些$G_l$是两两不交的可测集，并且它们的并集就是$E$，同时每个$G_l$的测度$\mu(G_l) < \infty$（因为$\mu(G_l) \leq \mu(E_i) < \infty$）。

2. 分析每个公共分割块上的函数值
   对于任意一个$G_l = E_i \cap F_j$，在这个集合上，$f(\omega) = g_i$（从第一个表示来），同时$f(\omega) = h_j$（从第二个表示来），所以必然有$g_i = h_j$。咱们把这个公共值记为$k_l$，也就是对每个$G_l$，$k_l = g_i = h_j$。

3. 将两种表示转换为公共分割形式并计算积分

   • 对第一个表示，我们可以把每个$E_i$拆成所有包含在它里面的$G_l$（也就是所有$G_l = E_i \cap F_j \neq \emptyset$的$l$），所以：
     $$\sum_{i=1}^k \mu(E_i) g_i = \sum_{i=1}^k g_i \sum_{\substack{l: G_l \subseteq E_i}} \mu(G_l) = \sum_{l} k_l \mu(G_l)$$
   • 对第二个表示，同理把每个$F_j$拆成所有包含在它里面的$G_l$：
     $$\sum_{j=1}^m \mu(F_j) h_j = \sum_{j=1}^m h_j \sum_{\substack{l: G_l \subseteq F_j}} \mu(G_l) = \sum_{l} k_l \mu(G_l)$$

4. 结论
   你看，两种表示对应的积分结果都等于$\sum_{l} k_l \mu(G_l)$，所以它们必然相等。这就说明，不管用哪种可积简单函数的表示形式来计算博赫纳积分，结果都是一样的，也就是这个定义不依赖于具体的表示。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Chao