关于Dickson猜想中$b_i=1$情形下单个$n$的可证性问询

最近我在研究数论问题时，偶然接触到了Dickson猜想，有意思的是，我当时正自己独立深挖这个猜想里**所有$b_i=1$**的特殊情况（也就是对$i\in{1,2,\ldots,k}$，每组线性表达式的$b_i$都取1）。

先给不熟悉这个猜想的朋友补个背景：Dickson猜想的核心逻辑很清晰——不管你给定$k$组形如$a_i + b_i n$的线性表达式，只要不存在那种一眼就能看穿的整除障碍（比如存在某个质数$p$，不管$n$取什么值，$p$都能整除至少一个表达式的结果，那肯定没法让所有表达式同时是质数），那就一定存在无穷多个正整数$n$，能让这$k$个表达式的结果全都是质数。

不过我现在的兴趣点完全锁定在$b_i=1$的情况上：也就是要找无穷多$n$，使得$a_1 + n$、$a_2 + n$、……、$a_k + n$同时为质数（当然也是排除掉有明显整除障碍的情况）。但我现在有个具体的疑问：哪怕先不纠结“无穷多$n$”这个强结论，就针对单个满足条件的$n$，在这种$b_i$全为1的特殊情形下，咱们有没有办法给出严格的数学证明呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Adam Rubinson