调和函数微分的调和性及调和映射微分在Sasakian度量下的调和性相关技术问询

大家好，我最近在捣鼓调和映射的相关研究，碰到个问题想请教各位同好：

设$f:M\to N$是两个黎曼流形之间的调和映射，我有这么几个相关的疑问：

• 首先想确认：下面这个问题是不是属于业内人一看就觉得“理所当然该这么问”或者思路很直接的问题？

  若给切丛$TM$和$TN$配备Sasakian度量，那么微分$df:TM \to TN$是否必然是调和映射？

• 其次，如果这个问题的答案是肯定的，有没有哪本经典几何专著里把这个结论作为正式定理收录过？

• 最后，如果结论成立，除了最直接的计算验证这种办法，有没有什么更巧妙的间接证明思路？比如借助Sasakian结构的特殊性质、调和映射的其他等价刻画（比如变分法角度）来推导，而不是硬算？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ali Taghavi