拓扑空间与连续函数的逆极限相关技术问询

咱先把拓扑空间逆系统和逆极限的基础定义梳理明白：

• 设$(X_i, f_{ij})$是拓扑空间的逆系统，其中对指标集$I$里所有满足$i \leq j$的元素，映射$f_{ij}: X_j \to X_i$都是连续的。
• 再设$X$是这个逆系统的逆极限：$X$本身是一个拓扑空间，同时对每个$i \in I$都配有投影映射$\pi_i: X \to X_i$，并且对所有$i \leq j$，必须满足交换条件：
  $$f_{ij} \circ \pi_j = \pi_i$$

（注：交换图的通用表述属于逆极限的标准定义范畴，这里就不额外引用外部链接啦）

现在假设我们有一族连续函数...

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Smooth.manifold