向下与向上舍入浮点运算误差：RD(f)与RU(f)差值的界求解

先直接给结论：|RD(f)-RU(f)|的界是小于2E，而不是E。下面用推导逻辑和具体例子来把这个问题讲透：

数学推导验证 #

我们可以用三角不等式来拆解两个舍入值的差值：

|RD(f) - RU(f)| = |(RD(f) - f) + (f - RU(f))|

根据三角不等式的基本性质，这个差值必然小于等于两个分项绝对值的和：

|RD(f) - f| + |f - RU(f)|

题目里已经给出|RD(f)-f|<E，|RU(f)-f|<E，而|f-RU(f)|和|RU(f)-f|是完全相等的，代入后就能得到：

|RD(f)-f| + |f-RU(f)| < E + E = 2E

用p=4的十进制浮点系统举例 #

拿题目补充的精度p=4的十进制浮点系统来举个实际例子：
假设真实值f=1.2345，在这个浮点系统里：

• 向下舍入的RD(f)=1.234，此时|RD(f)-f|=0.0005
• 向上舍入的RU(f)=1.235，此时|RU(f)-f|=0.0005

这时候两个舍入值的差值|RD(f)-RU(f)|=0.001，正好是2*0.0005=2E（这里E=0.0005）。就算换一个真实值，比如f=1.23456，RD(f)=1.234，RU(f)=1.235，差值还是0.001；如果我们取E=0.0006，那么|RD(f)-f|=0.00056<E，|RU(f)-f|=0.00044<E，差值0.001也依然小于2*0.0006=0.0012，完全符合小于2E的结论。

从这个极端例子能看出来，差值的上限会无限接近2E，所以界不可能是E，必须是2E。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Konstantin Isupov