主丛分类空间的Milnor型构造及相关文献咨询

我先拿两个具体例子来明确我的问题：

• 首先，假设我们有流形$M$上的标准正交标架主丛：
  $$SO(n)\hookrightarrow PM\rightarrow M$$
  我想知道有没有对应的主丛分类空间构造（至少能给个参考文献就行），也就是是否存在如下的结构：
  $$BSO(n)\hookrightarrow BPM\rightarrow M$$
• 再举一个更具体的例子：考虑二重覆叠空间$\tilde{X}\rightarrow X$，这本质是一个$\mathbb{Z}_2$主丛。用Milnor构造的话，能得到：
  $$B\mathbb{Z}_2=\mathbb{R}P^\infty\hookrightarrow \tilde{X}\star_X\tilde{X}\star_X\dots\star_X\tilde{X}\rightarrow X$$

我想问问有没有研究这个方向的现有文献？

补充编辑：
我后来在Lurie的《Higher topos theory》前言里找到了点相关线索，应该去研究群胚值层或者stack，它们描述的是...（原文此处未完成）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MRU