关于自同构群规模为$n!/O(n^4)$及以上的n阶图的分类与同构类数量的技术问询

提问背景与问题 #

先跟大家梳理下已经明确的图论结论：

• 对于有$n$个顶点的图，只有完全图$K_n$和空图拥有最大规模的自同构群
• 从完全图里删一条边（或者给空图加一条边），得到的图的自同构群规模是$n!/\binom{n}{2}$
• 针对从完全图里删两条边的情况（不管这两条边邻不相邻），也已经有一些相关结论被证明了

基于这些，我有个疑问：有没有一个整数$m$，只要$n \geq m$，所有有$n$个顶点且自同构群规模大于$n!/n^4$的图，都能被归到$O(1)$个同构类里？

补充说明：正如大家指出的，我这个问题表述不够清楚。假设每个图都由一个对称...（注：原提问此处内容未完成）

我的解答 #

这个问题在图论里属于「大自同构群图的分类」范畴，其实已经有不少相关研究了，我给你掰扯掰扯核心逻辑和已知结论：

首先要明白，自同构群规模越大，说明图的对称性越强，结构也就越规整，自然同构类的数量就不会太多。

针对你提的这个阈值$n!/n^4$，结论是确实存在这样的整数$m$——当$n$足够大时，满足自同构群规模超过这个阈值的$n$阶图，同构类数量是常数级别的（也就是你说的$O(1)$）。

背后的核心思路是：当图的自同构群足够大时，它要么是完全图、空图、完全二分图这类高度对称的“基础款”，要么是这些基础图只做了一点点修改（比如删/加少数几条边），而这类修改的方式是有限的，对应的同构类数量自然也是固定的几个，不会随$n$变大而增加。

更具体点说，只要$n$远大于某个常数$m$，任何自同构群规模超过$n!/n^k$（这里$k$是固定的，比如你说的4）的图，必然是「几乎完全图」「几乎空图」「几乎完全二分图」，或者它们的补图——这些图的结构都高度受限，同构类数量肯定是常数级的。

另外你补充说明里提到想细化问题表述，如果是打算用对称矩阵来表示图的话，其实可以从邻接矩阵的对称轨道角度入手，但核心结论不会变：自同构群足够大的图，结构不会太复杂，同构类数量不会爆炸。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tejas