关于经典三角形不等式推广形式及通用统一不等式存在性的技术问询

大家好，我最近在研究三角形相关的不等式问题，有个想法想和大家探讨下：

假设$a,b,c$是任意顺序的三角形三边，$A,B,C$分别是对应边的对角，$r$为三角形的内切圆半径，$R$为外接圆半径。之前已经有结论证明了如下不等式：

$$
\frac{a}{A} + \frac{b}{B} \ge \frac{c}{C} \tag 1
$$

这个式子的形式和我们熟悉的经典三角形不等式 $a+b \ge c$ 非常相似，这让我不禁思考：是否存在一个通用的统一不等式，能同时推导出这两个结论？不过像下面这种看起来很直观的推广形式：

$$
\frac{a}{A^x} + \frac{b}{B^x} \ge \frac{c}{C^x} \tag 2
$$

当$x \ne 0,1$时，在一般情况下是不成立的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nilotpal Kanti Sinha