关于求和式N的3-adic赋值ν₃(N)的五次幂求解问题

先给大家说下这道题的来头：它是CMI（Chennai Mathematical Institute）举办的STEMS 2024年数学竞赛A类卷的第一题，具体问题如下：

设$$ N = \sum_{i=0}^{20239-1} 7i(i+1)(i^2+i+1)$$
进一步，令$a = \nu_3(N)$（这里$\nu_p(x)$表示x的素因子分解中素数p的指数），求$a^5$。

我自己上手尝试的时候，一开始脑热给每一项乘了又除$(i-1)^2$，把原式变形写成了：
$$ N = \sum_{i=0}^{20239-1} \frac{7i(i^2 -1)(i^3-1)}{(i-1)2}$$
但改完之后反而直接卡壳了，完全不知道下一步该往哪走。另外我还注意到i的取值范围是从0到$2023^9 -1$，2023本身是3k+1型的数（算一下：2023=3×674+1），那$2023^{9$模3肯定是1，所以上限$2023}9 -1$就是3的倍数——这一点会不会和求3-adic赋值有关？不过目前我还没把这层关联捋明白。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kraken