关于环局部化的同构问题：$A_f \cong A_{f^n}$是否成立？

嘿，这个问题乍看简单，但零因子的坑确实容易让人犯迷糊，咱们一步一步理清楚～

首先给你吃个定心丸：你的构造是对的，不管有没有零因子，$A_f$和$A_{f^n}$都是同构的！那些说零因子会导致不同构的朋友，大概率是混淆了局部化的等价关系，或者举错了例子。

咱们先把你的映射再捋清楚，确保它是站得住脚的：

• 你定义的$\phi: A_f \to A_{f^{n}$，把$a/f}k$映成$a f^{k(n-1)}/(fn)^{k$，比如$1/f$对应$f}{n-1}/f^n$，这个思路完全没问题。
• 反过来，我们可以定义逆映射$\psi: A_{f^n} \to A_f$，把$a/(fⁿ⁾k$直接映成$a/f^{nk}$。

接下来咱们验证这两个映射都是良定义的，并且互为逆映射：

1. $\phi$是良定义的：假设$a/f^k = b/f^{m$在$A_f$里，也就是存在$t\geq0$使得$f}t(f^m a - f^k b)=0$。我们要证明$a f^{k(n-1)}/(fn)^k = b f^{m(n-1)}/(fn)^m$在$A_{fn}$里——只要取$s$满足$n(s)\geq t$，那么$(fⁿ⁾s$乘以$(fⁿ⁾m a f^{k(n-1)} - (fⁿ⁾k b f^{{m(n-1)}$的结果，就是从原等式推导出来的0，完全满足$A_{f}n}$的等价关系，所以$\phi$不会因为等价类的选择而改变，是良定义的。
2. $\psi$是良定义的：类似地，如果$a/(fⁿ⁾k = b/(fⁿ⁾m$在$A_{f^{n}$里，存在$s\geq0$使得$(f}n)^s( (fⁿ⁾m a - (fⁿ⁾k b )=0$，这直接能推出在$A_f$里$a/f^{nk} = b/f^{nm}$，所以$\psi$也是良定义的。
3. 两者互逆：
   • 把$\phi$的结果用$\psi$映回去：$\psi(\phi(a/f^k)) = \psi(a f^{k(n-1)}/(fn)^k) = a f^{k(n-1)}/f{nk} = a/f^{k$，因为在$A_f$里$f}{nk}=f^k f^{k(n-1)}$，两者是等价的。
   • 反过来，$\phi(\psi(a/(fⁿ⁾k)) = \phi(a/f^{nk}) = a f^{nk(n-1)}/(fn)^{nk} = a/f^{nk} = a/(fⁿ⁾k$，同样满足$A_{f^n}$的等价关系。

咱们再举个带零因子的例子验证，比如取$A=\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$，$f=2$，$n=2$：

• $A_f=A_2$的局部化里，2的幂次会把1和4、2和5、3和0归为同一个等价类，最终$A_2$同构于$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。
• $A_{f^2}=A_4$的局部化里，4的幂次只有1和4，同样会把1和4、2和5、3和0归为同一类，最终也同构于$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$，显然两者是同构的。

所以那些提到零因子的朋友，可能是没搞清楚局部化中等价关系的作用——零因子的影响已经被等价关系吸收了，根本不会破坏同构的成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Gargantuar