关于局部线性算子必为偏微分算子的证明问询
最近在一门课上，教授给算子的局部性下了这么个定义：
设 $T: C_{0}{\infty}(\mathbb{R}{n}) \to C{\infty}(\mathbb{R}{n})$ 是线性算子。如果对任意 $u \in C_{0}{\infty}(\mathbb{R}{n})$，都满足
$$\operatorname{supp} (Tu) \subset \operatorname{supp} (u),$$
就称 $T$ 是局部算子。
然后他抛出来一个定理，说我们不会用到所以就不给证明了：
要是某个局部算子 $f$ 属于空间 $Op(E_{1}, E_{2})$（也就是从向量丛 $E_1$ 的截面映射到 $E_2$ 截面的线性算子构成的空间），那这个 $f$ 一定是偏微分算子。
我对这个结论有点摸不着头脑，想请教下：这个定理的核心逻辑是什么？为什么局部性加上属于这个算子空间的条件，就能直接推出是偏微分算子呢？
哈哈，这个问题其实是偏微分算子理论里挺经典的结论，我来给你掰扯掰扯核心思路：
首先得明确，$Op(E_1,E_2)$ 这个空间里的算子，一般都属于伪微分算子的范畴（你教授没提的话，也可以默认是具有光滑分布核的算子），而伪微分算子里满足局部性的，就只能是偏微分算子。
核心逻辑在于局部性的强约束：局部算子要求作用在函数上后，结果的支集完全包含在原函数的支集里。换句话说，算子在某点的输出，只和该点附近的函数值及其导数有关——这刚好是偏微分算子的本质特征：它就是由函数本身和它的各阶偏导数在该点的线性组合构成的。
具体推导的关键是核定理：$Op(E_1,E_2)$ 里的算子都可以表示成积分算子的形式，也就是存在一个分布核 $K(x,y)$，使得 $f(u)(x) = \int K(x,y)u(y)dy$。而局部性要求：如果 $x$ 不在 $u$ 的支集内，这个积分结果必须为0；反过来，只要 $u$ 在 $y$ 点附近非零，但 $x$ 不在 $u$ 的支集，积分也得是0。这就意味着，分布核 $K(x,y)$ 只能在 $x=y$ 处及其导数处非零——而这种形式的核，刚好就是偏微分算子对应的核！
举个一维的简单例子，偏微分算子 $P(D) = a_0(x) + a_1(x)\frac{d}{dx} + ... + a_k(x)\frac{dk}{dxk}$，它的核就是 $a_0(x)\delta(x-y) + a_1(x)\delta'(x-y) + ... + a_k(x)\delta^{(k)}(x-y)$，积分之后刚好得到函数和各阶导数的线性组合，而且支集肯定包含在原函数的支集里，完美满足局部性。
反过来，如果一个积分算子的核不是这种形式，比如卷积核是个非紧支的光滑函数，那它作用在紧支函数上得到的结果支集会扩大，就不满足局部性了。
所以总结一下：$Op(E_1,E_2)$ 里的算子都有分布核，而局部性的约束把核的形式死死限制成了 $\delta$ 函数及其各阶导数的线性组合，这就刚好对应了偏微分算子。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者AdrinMI49
