关于同伦映射诱导相同同调群同态的替代证明咨询

我正在阅读Hatcher的《Algebraic Topology》，在第111页看到这个定理：

Theorem 2.10: 若两个映射$f, g: X \rightarrow Y$是同伦的，则它们诱导相同的同态$f_=g_$

我理解这个定理的证明以及棱柱算子的构造，但我一直在想有没有这样一种思路的证明：

设$f_t$是连接$f_0,f_1$的同伦，那么$(f_t)_*$诱导从$C_n(X)$到$C_n(Y)$的映射，且与边界交换，因此诱导从$H_n(X)$到$H_n(Y)$的映射。不过注意到这个映射族...

你的这个思路方向完全没问题！其实这和原证明的内核是相通的，只是切入点更偏向“同伦给出连续变化的链映射族”这个视角。

具体补充下这个思路的关键步骤：

• 首先，对于每个$t \in [0,1]$，$(f_t)*: C_n(X) \to C_n(Y)$确实是链映射——因为每个$f_t$都是连续映射，而连续映射诱导的链映射天然满足$\partial \circ (f_t)* = (f_t)_* \circ \partial$，也就是和边界算子交换。
• 接下来的核心问题是：怎么证明$(f_0)*$和$(f_1)*$在同调群上诱导相同的同态？答案是要证明这两个链映射是链同伦的——这是代数拓扑里的核心结论：链同伦的链映射会诱导同调群上的相同同态。
• 至于怎么构造这个链同伦，其实就是你思路里隐含的“利用$f_t$这个连续族”：我们可以定义一个链同伦$P: C_n(X) \to C_{n+1}(Y)$，使得$\partial P + P \partial = (f_1)* - (f_0)*$。这个$P$的构造本质上就是把$X$中的$n$维单形，通过同伦$f_t$“拉伸”成$Y$中的$(n+1)$维“柱形”（也就是棱柱算子的代数表达），这相当于把$f_t$这个连续变化的映射族转化成了链层面的同伦算子。

简单来说，你的思路抓住了同伦的“连续性”本质，而要完成证明，只需要把这个连续变化的链映射族和链同伦联系起来——这一步其实和原证明的核心构造是一致的，只是视角更偏向映射族的动态变化~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Amir Mg