如何通过上半平面的福克-普朗克方程推导双曲布朗运动的转移密度？

我来一步步带你梳理这个推导过程，先从最基础的设定开始：

一、先明确双曲空间上半平面模型的核心参数 #

• 我们用上半平面$\mathbb{H} = {(x,y) \in \mathbb{R}^2 : y > 0}$作为双曲空间的模型，它配备的度量张量是$g(x,y) = y^{-2} I_{2\times2}$，对应的线元是$ds^2 = y^{-2}(dx2 + dy^2)$。这个度量的特点是越靠近$y=0$的边界，“尺度”被拉伸得越大。
• 双曲布朗运动的无穷小生成元：在黎曼流形上，布朗运动的生成元是拉普拉斯-贝尔特拉米算子$\Delta_{\mathbb{H}}$的一半。对于这个上半平面模型，拉普拉斯-贝尔特拉米算子可以和我们熟悉的欧氏拉普拉斯算子$\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}$关联起来——具体计算后可得$\Delta_{\mathbb{H}} = y^2 \Delta$，所以生成元就是$\mathscr{G} = \frac{1}{2}\Delta_{\mathbb{H}} = \frac{1}{2}y^2 \Delta$。
• 自伴性说明：这个生成元$\mathscr{G}$在$L^2(\mathbb{H}, \nu)$空间中是自伴算子，其中$\nu(dxdy) = y^{-2}dxdy$是双曲空间的体积测度，它反映了双曲空间的“体积分布”——越靠近边界，体积元越小。

二、推导福克-普朗克方程 #

福克-普朗克方程描述的是双曲布朗运动转移密度随时间的演化规律。首先我们定义转移密度$p(t; z, z')$（其中$z=(x,y)$是起点，$z'=(x',y')$是终点），它满足：
$$\mathbb{P}(Z_t \in dz' | Z_0 = z) = p(t; z, z') \nu(dz')$$
这里$Z_t$表示时刻$t$的双曲布朗运动位置。

由于生成元$\mathscr{G}$在$L^2(\nu)$上自伴，转移半群$P_t f(z) = \mathbb{E}[f(Z_t)|Z_0=z]$满足$\frac{d}{dt}P_t f = \mathscr{G}P_t f$。我们对任意测试函数$f$两边积分，就能得到：
$$\frac{d}{dt}\int_{\mathbb{H}} f(z') p(t; z, z') \nu(dz') = \int_{\mathbb{H}} f(z') \mathscr{G} p(t; z, z') \nu(dz')$$
利用自伴性，上式等价于转移密度$p$满足的福克-普朗克方程：
$$\frac{\partial p}{\partial t} = \mathscr{G} p$$

如果我们想转换成欧氏测度下的密度形式（更直观），可以令$\tilde{p}(t; z, z') = p(t; z, z') y'^{-2}$，此时$\mathbb{P}(Z_t \in dz' | Z_0=z) = \tilde{p}(t; z, z') dx'dy'$。把$p = \tilde{p} y'^2$代入生成元的表达式展开计算，最终能得到欧氏测度下$\tilde{p}$的福克-普朗克方程：
$$\frac{\partial \tilde{p}}{\partial t} = \frac{1}{2}y'^{2\left(\frac{\partial}2 \tilde{p}}{\partial x'^2} + \frac{\partial^2 \tilde{p}}{\partial y'^2}\right) + 2y' \frac{\partial \tilde{p}}{\partial y'} + \tilde{p}$$

三、求解转移密度：利用双曲空间的对称性 #

双曲空间具有很强的对称性（平移、伸缩、反演都是等距变换），我们可以利用这些对称性简化求解过程：

1. 首先考虑从特殊起点$(0,1)$出发的情况，此时转移密度只依赖于两点间的双曲距离$d(z,z')$，双曲距离的计算公式是：
   $$d((x,y),(x',y')) = \cosh^{-1}\left(1 + \frac{(x-x')^2 + (y-y')^2}{2yy'}\right)$$
2. 把福克-普朗克方程转换成径向形式（只关于$r=d(z,z')$），二维双曲空间的径向拉普拉斯-贝尔特拉米算子是：
   $$\Delta_{\mathbb{H}} f(r) = \frac{d^2 f}{dr^2} + \coth r \frac{df}{dr}$$
   对应的径向福克-普朗克方程为：
   $$\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{1}{2}\left(\frac{d^2 p}{dr^2} + \coth r \frac{dp}{dr}\right)$$
3. 通过分离变量法或者利用已知的热核结论，我们可以得到关于双曲体积测度的转移密度：
   $$p(t; z, z') = \frac{1}{4\pi t} \exp\left(-\frac{d(z,z')^2}{4t}\right) \frac{\sinh d(z,z')}{d(z,z')}$$
   如果转换成欧氏测度下的密度，就是：
   $$\tilde{p}(t; z, z') = \frac{y'^2}{4\pi t} \exp\left(-\frac{d(z,z')^2}{4t}\right) \frac{\sinh d(z,z')}{d(z,z')}$$

整个推导过程的核心是把黎曼流形上的布朗运动生成元与福克-普朗克方程结合，再利用双曲空间的对称性简化求解，最终得到转移密度的表达式。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nap D. Lover