整环与其各类素理想局部化的交的相等性验证问题

设$A$是一个整环，请问下述等式是否成立：
$$A=\cap_{ht(p)=1}A_p=\cap_{p \text{ 极大}}A_p=\cap_{p \text{ 素 }}A_p$$

我来分享一下我的思考和结论：

首先验证$A=\cap_{p \text{ 素}}A_p$ #

正向包含（$\subset$）

因为$A$是整环，对任意局部化$S^{-1}A$，都有自然的嵌入映射$A\hookrightarrow S^{-1}A$——毕竟整环没有零因子，局部化不会把原环元素映射到零。特别地，对任意素理想$p$，局部化$A_p$都是$A$在分式域$K=\text{Frac}(A)$里的扩集，所以$A$肯定包含在所有$A_p$的交集里，也就是$A\subset\cap_{p \text{ 素}}A_p$。

反向包含（$\supset$）

取分式域$K$中的任意元素$\frac{a}{s}$，假设它属于所有素理想$p$对应的$A_p$。我们定义一个理想：
$$D\left(\frac{a}{s}\right)={x\in A:x\cdot\frac{a}{s}\in A}$$
如果能证明$D\left(\frac{a}{s}\right)=A$，那$1\in D\left(\frac{a}{s}\right)$，自然$\frac{a}{s}\in A$。

假设$D\left(\frac{a}{s}\right)\neq A$，那它必然包含在某个极大理想$m$里（极大理想的存在性由Zorn引理保证，且极大理想本身也是素理想）。但根据假设，$\frac{a}{s}\in A_m$，这意味着存在$t\in A\setminus m$，使得$t\cdot\frac{a}{s}\in A$——也就是$t\in D\left(\frac{a}{s}\right)$。可$t\notin m$，这就和$D\left(\frac{a}{s}\right)\subset m$矛盾了。所以$D\left(\frac{a}{s}\right)=A$，反向包含得证。

结合两个方向，就有$A=\cap_{p \text{ 素}}A_p$。

接着看$A=\cap_{p \text{ 极大}}A_p$ #

这个等式和上面的结论直接相关：

• 首先，所有极大理想都是素理想，所以$\cap_{p \text{ 素}}A_p\subset\cap_{p \text{ 极大}}A_p$（毕竟要满足在更多局部化里，交集范围更小）；
• 反过来，用和上面几乎一样的方法：假设$\frac{a}{s}\in\cap_{p \text{ 极大}}A_p$，同样考虑$D\left(\frac{a}{s}\right)$，如果它不是$A$，就包含在某个极大理想$m$里，而$\frac{a}{s}\in A_m$会导出矛盾，所以$\frac{a}{s}\in A$，即$\cap_{p \text{ 极大}}A_p\subset A$。

所以对任意整环$A$，都有$A=\cap_{p \text{ 极大}}A_p$。

最后分析$A=\cap_{ht(p)=1}A_p$ #

这个等式不一定成立，它只在$A$是Krull整环时才成立。举个直观的反例：
考虑整环$A=\mathbb{Z}[X^2,X3]$，它的分式域是$\mathbb{Q}(X)$。元素$X$不在$A$里，但它在所有高度为1的素理想的局部化中：

• 对于由$X^{2$生成的素理想$(X}2)$，$X=\frac{X^3}{X2}$，虽然$X^{2$属于理想，但在局部化$A_{(X}2)}$中，我们可以通过等价类理解：$X^3$和$X2$都在$A$中，且$X^{2$是理想的生成元，局部化后$X$可以表示为$A_{(X}2)}$中的元素；
• 对于由素数$p$生成的素理想$(p)$，$X=\frac{X^2}{X}$，$X2\in A$且$X\notin(p)$，所以$X\in A_{(p)}$。

可见$X$属于所有高度1素理想的局部化，但$X\notin A$，因此$\cap_{ht(p)=1}A_p$严格包含$A$，等式不成立。

核心结论是：只有当$A$是Krull整环时，$A$才等于所有高度1素理想局部化的交，一般整环不满足这个等式。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user11695417