关于球面$\boldsymbol{S^2}$到$\boldsymbol{S^1 \times [-1,1]}$的水平径向投影作为2维流形间映射的表达形式疑问

嘿，这个问题问得特别到位，一下子抓住了流形学习里很容易混淆的点——整体嵌入坐标和局部坐标的区别！

先给你捋清楚核心逻辑：你觉得“2维流形的映射应该是2个变量到2个分量”，这个直觉完全没错，但这里的“变量”和“分量”得对应流形的局部坐标，不是它们嵌入到欧氏空间里的整体坐标数。

咱们一步步拆：

1. 先看$S^{2$：它是2维流形，但我们习惯用$\mathbb{R}}3$里的$(x_1,x_2,x_3)$来表示它的点（满足$x_1^2+x_22+x_3^{2=1$），这是因为$S}2$可以嵌入到3维欧氏空间里，但流形的维度说的是局部可以用几个参数完全描述——比如去掉南北极的$S^{2$，我们可以用$(x_1,x_2)$作为局部坐标（2个变量），这时候$x_3$是由$x_1,x_2$决定的（$x_3=\pm\sqrt{1-x_1}2-x_2^2}$），完美对应2维的维度。
2. 再看$S^1 \times [-1,1]$：这个乘积流形是2维的，因为$S^{1$是1维，$[-1,1]$是1维，乘积的维度是两者维度相加。它的每个点本质上是一对元素：**圆周$S}1$上的一个点** + 区间$[-1,1]$里的一个数，这对应2个“流形层面的分量”，所以是2维。而你看到的$(y_1,y_2,y_3)$形式（其中$y_1^2+y_22=1$，$y_3\in[-1,1]$），只是这个乘积流形嵌入到$\mathbb{R}^{3$的一种表示方式——前两个分量是$S}1$在$\mathbb{R}^{2$的嵌入，第三个是区间的嵌入，整体拼成了$\mathbb{R}}3$里的“圆柱面”。

回到映射$P$：你觉得它看起来是3个分量，和2维流形的映射形式不符，是因为它用了两个流形在$\mathbb{R}^3$里的嵌入坐标来写。如果我们换成局部坐标来写，就完全是你期待的“2个变量到2个分量”的形式了：

• 比如在$S^{2$去掉南北极的上半球，我们用$(x_1,x_2)$作为局部坐标（2个变量），此时$x_3=\sqrt{1-x_1}2-x_2^2}$；
• 对于$S^1 \times [-1,1]$，我们可以用$(\theta, t)$作为局部坐标：$\theta$是$S^1$上的角度（对应$y_1=\cos\theta, y_2=\sin\theta$），$t$是$[-1,1]$里的数（对应$y_3=t$）；
• 这时候映射$P$在局部坐标下的表达式就是：
  $$P(x_1,x_2)=\left( \arctan2(x_2,x_1), \sqrt{1-x_1^2-x_22} \right)$$
  你看，这就是2个变量映射到2个分量的形式，完全符合2维流形间映射的直观！

简单说：流形的维度看局部参数的个数，不是嵌入空间的坐标数。你看到的$P$的3分量形式，是嵌入到欧氏空间后的“外在”写法，本质上它还是2维流形之间的映射，只要切换到局部坐标，就会变成你预期的2输入2输出的形式。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ProofSeeker