求解满足指定函数方程的全体实值函数

嘿，我们来一步步找出所有满足 (f: \mathbb R\to\mathbb R) 且对任意实数 (x,y) 都有 (f(x+y-xy)+f(xy)=f(x)+f(y)) 的实值函数。

第一步：特殊值试探找线索 #

先代入几个简单实数，看看能不能得到函数的基本性质：

• 令 (x=0)，方程变为 (f(y) + f(0) = f(0) + f(y))，这是恒等式，没给出新约束；
• 令 (x=1)，方程变为 (f(1) + f(y) = f(1) + f(y))，同样是恒等式，也没额外信息。

第二步：线性函数验证 #

先试试最常见的线性函数形式 (f(x)=kx+b)（(k,b) 为实常数），代入原方程验证：
左边：(f(x+y-xy)+f(xy) = k(x+y-xy)+b + k(xy)+b = kx+ky -kxy +b +kxy +b = k(x+y)+2b)
右边：(f(x)+f(y) = kx+b + ky+b = k(x+y)+2b)
左右两边完全相等！所以所有线性函数都是方程的解，包括常数函数（当 (k=0) 时，(f(x)=b)）。

第三步：排除非线性简单函数 #

我们试试二次函数 (f(x)=ax^2+bx+c)，代入方程展开化简后会发现，只有当二次项系数 (a=0) 时，等式才能对所有实数 (x,y) 成立，此时二次函数退化为线性函数，不存在非线二次解。

再比如分段函数（比如有理数取1，无理数取0），代入后会出现不满足方程的情况（比如 (x=y=\sqrt{2}) 时，左边结果为1，右边为0，不相等），这类分段函数也不是解。

第四步：一般情况的解 #

如果不限制函数的连续性，从更一般的角度分析：
令 (h(x)=f(x)-f(0))，则 (h(0)=0)，原方程可转化为 (h(x+y-xy)+h(xy)=h(x)+h(y))。
若 (h) 是可加函数（即对所有实数 (a,b) 满足 (h(a+b)=h(a)+h(b))），代入后左边 (h(x+y-xy)+h(xy)=h((x+y-xy)+xy)=h(x+y)=h(x)+h(y))，刚好等于右边，满足方程。

在实数集上，可加函数如果满足连续、单调或有界的条件，就一定是线性函数 (h(x)=kx)，此时 (f(x)=kx+b)（(b=f(0))）；如果不附加这些条件，依赖选择公理可以构造出病态的非线可加解，但这类解通常不在常规数学问题的讨论范围内。

结论 #

• 若要求函数连续/单调/有界，所有解都是线性函数：(f(x)=kx+b)（(k,b\in\mathbb R)）；
• 若不限制这些条件，解可表示为 (f(x)=h(x)+c)，其中 (c) 是常数，(h) 是任意实值可加函数（满足 (h(a+b)=h(a)+h(b))）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者한준태