群G的共轭作用在G-Set拓扑斯中的角色范畴论问询

别担心你的问题定义得不够清晰——这类范畴论相关的问题本来就需要慢慢拆解～

让我们先明确一下$G$-Set拓扑斯的基本结构：

• 对象：所有G-集合，也就是形如$(X,\lambda)$的二元组，其中$X$是一个集合，$\lambda$是群$G$在$X$上的作用（即$\lambda: G \times X \to X$满足群作用的公理）
• 态射：所有保作用的函数，也就是对于态射$f:(X,\lambda)\to(Y,\mu)$，对任意$g\in G$和$x\in X$，都满足$f(\lambda(g,x))=\mu(g,f(x))$

核心问题 #

共轭作用在$G$-Set拓扑斯中扮演着怎样的角色（如果有的话）？

澄清说明：我希望得到一个范畴论层面的解释……

从范畴论的视角来看，共轭作用可以从几个核心层面嵌入$G$-Set拓扑斯的结构中：

• 对象的自同构来源：对于任意$G$-集合$(X,\lambda)$，取群元素$h\in G$，由共轭诱导的映射$\lambda_h(x)=\lambda(h,x)$是这个对象的自同构——它既是双射，又满足保作用的性质（利用共轭的$ghg^{-1}\cdot x = g\cdot(h\cdot(g^{-1}\cdot x))$特性）
• 对象同构类的等价关系：如果两个$G$-集合$(X,\lambda)$和$(X,\mu)$满足$\mu(g,x)=\lambda(hgh^{-1},x)$（对某个固定$h\in G$），那么它们在$G$-Set中是同构的，同构映射就是刚才的$\lambda_h$，这意味着共轭作用可以将不同的群作用转化为同构的$G$-集合对象
• 范畴自同构函子：我们可以把共轭作用推广为$G$-Set上的自同构函子$F_h: G\text{-Set}\to G\text{-Set}$：对对象，$F_h(X,\lambda)=(X,\lambda^{h)$（其中$\lambda}h(g,x)=\lambda(hgh^{-1},x)$）；对态射，$F_h(f)=f$（因为保作用的性质会自然传递）。这个函子是整个范畴的自同构，体现了共轭作用在拓扑斯层面的对称性

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Shaun