关于三角形边长与内切圆半径的不等式证明问询

你好呀，这个关于三角形几何的不等式问题挺值得深究的，先把问题的核心内容梳理清楚：

设 (a,b,c) 是任意三角形的三边（顺序可任意排列），(r) 是该三角形的内切圆半径。目前通过实验观察已经得到了如下不等式关系：
$$
\frac{2}{3} \le \frac{a}{a+r} + \frac{b}{b+r} - \frac{c}{c+r} \le \frac{4}{3}
$$
而且不管是上界还是下界，都能在退化三角形的极限状态下取到——具体来说就是当三角形的其中两边长度趋近于它的外接圆直径，第三边长度趋近于0的时候。

现在想请教的是：这个通过实验得到的不等式，能不能给出严格的数学证明呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nilotpal Kanti Sinha