共形等价区域的自同构群同构的逆命题是否成立？

其实这个逆命题是不成立的，我给你举个经典的例子就能明白：

考虑复平面上的两个环域（夹在同心圆之间的区域）：

• $A_1 = { z \in \mathbb{C} \mid 1 < |z| < 2 }$
• $A_2 = { z \in \mathbb{C} \mid 1 < |z| < 3 }$

首先看它们的自同构群：两个环域的自同构都只能是两类变换——一类是旋转变换 $z \mapsto e^{i\theta}z$（$\theta$是任意实数），另一类是反演加旋转的变换 $z \mapsto e^{{i\theta}/z$（$\theta$是任意实数）。把这两个群抽象出来看，都是圆周群$S}1$和二阶循环群$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$的半直积，也就是$S^1 \rtimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$，显然作为群是同构的。

但这两个环域并不共形等价：复分析里有个结论，两个环域共形等价的充要条件是它们的内外半径之比相等（或者说环的“模”相等）。这里$A_1$的半径比是$2/1=2$，$A_2$是$3/1=3$，比值不同，所以不存在能把$A_1$映射到$A_2$的共形映射。

这样就找到了自同构群同构，但区域本身不共形等价的例子啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Big Coconut