关于函数$f(x):= \displaystyle\prod_{n=0}^{\left\lfloor x\right\rfloor-1} (x-n)$的性质问询

我想和大家探讨一下定义在$[1,\infty)$上的这个函数：
$$ f(x):= \displaystyle\prod_{n=0}^{\left\lfloor x\right\rfloor-1} (x-n) $$
它明显是连续且单调递增的（虽然我还没给出严谨的证明过程），毕竟$x$的微小增量只会让$f(x)$产生微小的变化。

我是在研究类似$\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty} \left(1-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)$这类乘积的闭合形式时偶然接触到这个函数的，对它的各种性质十分感兴趣。这个$f(x)$和伽马函数并不相同，但二者存在一定关联——比如$f(x)$会经过所有点$(n, n!)$，这一点和伽马函数的特性很相似……

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Adam Rubinson