关于核空间(ker(T))与像空间(im(T))的子空间证明疑问

Hey there! Let's break this down step by step—your confusion makes total sense at first glance, so let's untangle why these two spaces belong to different vector spaces even though we use similar-looking calculations.

First, let's anchor ourselves to the definitions, because that's where the "which subspace" question gets answered:

核空间ker(T)：V的子空间 #

• 定义：线性变换 ( T: V \to W ) 的核空间，是所有被 ( T ) 映射到 ( W ) 中零向量的 ( V ) 向量集合：
  ( \ker(T) = { v \in V \mid T(v) = 0_W } )
• 我们计算 ( T(av_1 + bv_2) ) 时（其中 ( v_1, v_2 \in \ker(T) )），核心逻辑是：
  1. 根据核空间定义，( T(v_1) = 0_W )、( T(v_2) = 0_W )，利用线性变换的线性性质，可得 ( T(av_1 + bv_2) = aT(v_1) + bT(v_2) = 0_W )。
  2. 这说明 ( av_1 + bv_2 ) 也属于 ( \ker(T) )——关键是，( av_1 + bv_2 ) 本身是 ( V ) 中的向量（因为 ( V ) 是向量空间，对线性组合封闭）。
  3. 再加上 ( V ) 的零向量 ( 0_V ) 必然属于 ( \ker(T) )（因为 ( T(0_V) = 0_W )），就满足了子空间的所有条件，所以 ( \ker(T) ) 是 ( V ) 的子空间。

像空间im(T)：W的子空间 #

• 定义：线性变换 ( T ) 的像空间，是所有能表示为 ( T(v) )（其中 ( v \in V )）的 ( W ) 向量集合：
  ( \text{im}(T) = { w \in W \mid \exists v \in V \text{ 使得 } w = T(v) } )
• 这里用到 ( T(av_1 + bv_2) ) 的逻辑完全围绕 ( W ) 展开：
  1. 取像空间中的两个向量 ( w_1, w_2 \in \text{im}(T) )，根据定义，一定存在 ( v_1, v_2 \in V ) 使得 ( w_1 = T(v_1) )、( w_2 = T(v_2) )。
  2. 它们的线性组合 ( aw_1 + bw_2 = aT(v_1) + bT(v_2) = T(av_1 + bv_2) )，而 ( av_1 + bv_2 ) 是 ( V ) 中的向量，所以这个线性组合也属于 ( \text{im}(T) )。
  3. 同时 ( W ) 的零向量 ( 0_W = T(0_V) )，显然属于像空间。
  4. 这就证明了像空间在 ( W ) 中对线性组合封闭，满足子空间条件，因此是 ( W ) 的子空间。

核心区别总结 #

两个证明都用到 ( T(av_1 + bv_2) )，是因为我们都在利用线性变换的线性性质——这是线性变换的核心特性。但本质区别在于：

• 对 ( \ker(T) )：我们验证的是「( V ) 中满足映射到零向量的向量，其线性组合也满足该条件」，所以它是 ( V ) 的子空间。
• 对 ( \text{im}(T) )：我们验证的是「( W ) 中能被 ( T ) 映射得到的向量，其线性组合也能被 ( T ) 映射得到」，所以它是 ( W ) 的子空间。

别被相似的计算步骤迷惑，关键看集合里的元素原本属于哪个向量空间！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ddodd69