N×n满秩矩阵空间的连通分支数及SOₙ作用下轨道空间的连通分支数问询

大家好，我来梳理这个问题并给出对应的结论：

首先明确问题背景：
考虑特殊正交群$SO_n$在$N$个$n$维实向量构成的集合$(\mathbb{R}ⁿ⁾N$上的标准作用，定义开子集$M_N \subset (\mathbb{R}ⁿ⁾N$为一般型元组的集合：

• 当$N \leq n$时，元组中的向量线性无关；
• 当$N > n$时，元组中的向量张成整个$\mathbb{R}^n$。

已知$SO_n$在$M_N$上的诱导作用是真作用，且所有轨道的稳定子群彼此共轭，因此轨道空间$M_N/SO_n$是光滑流形。现在的核心问题是：这个轨道空间有多少个连通分支？并且该问题等价于求所有$N \times n$满秩矩阵构成的空间的连通分支数，我们重点关注$N \geq n$的情况。

分情况讨论（$N \geq n$） #

1. 当$N = n$时

此时$M_n$就是所有$n \times n$可逆实矩阵构成的群$GL_n(\mathbb{R})$，而$SO_n$是$GL_n(\mathbb{R})$的连通子群（所有特殊正交矩阵可以通过连续旋转从单位矩阵变形得到）。

• $GL_n(\mathbb{R})$本身有2个连通分支：分别由行列式为正和行列式为负的可逆矩阵组成，这两个分支无法通过连续变形互相转化（因为行列式是连续函数，取值在$\mathbb{R}\setminus{0}$，正负值分属不同连通分支）。
• 轨道空间$M_n/SO_n$的连通分支数与$GL_n(\mathbb{R})$的连通分支数一致，也是2个。原因是$SO_n$连通，商空间的连通分支数等于原空间的连通分支数除以子群的连通分支数（这里子群连通，所以直接等于原空间的连通分支数）。

2. 当$N > n$时

此时$M_N$对应所有$N \times n$列满秩实矩阵的空间：

• 首先，这个列满秩矩阵空间本身是连通的。任意两个列满秩矩阵都可以通过连续的初等行变换（保持列满秩）互相转化，哪怕它们的n阶子式符号不同，我们可以利用额外的行构造连续变形路径，跨越符号变化的障碍（比如n=2、N=3时，可通过调整第三行平滑改变子式符号，同时保持列满秩）。
• 而$SO_n$是连通群，连通空间在连通群作用下的轨道空间也是连通的，因此轨道空间$M_N/SO_n$只有1个连通分支。

总结一下：

• 当$N = n$时，无论是$N \times n$满秩矩阵空间还是轨道空间$M_N/SO_n$，都有2个连通分支；
• 当$N > n$时，两者都只有1个连通分支。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Alex Bogatskiy