n≥2时连通开集减去紧凸集的连通性及赋范向量空间推广问题问询

各位拓扑学领域的朋友们，我最近碰到一个关于连通性的拓扑问题，想跟大家探讨请教：

给定$\mathbb{R}^n$中的连通开集$\Omega$，设$K\subset\Omega$是一个紧子集，记$K$的凸包为$C$，我有两个核心疑问：

• 当$n\geq2$时，$\Omega \setminus C$是否一定是连通的？
• 这个结论能不能推广到一般的赋范向量空间中？

我自己先做了点小分析：当$n=1$时这个结论显然不成立，比如取$\Omega=(0,1)$，$K=[1/4,3/4]$，此时$\Omega \setminus C = (0,1/4)\cup(3/4,1)$，是不连通的，但我只关心$n\geq2$的情况。

其实最开始我的需求没这么细，只是想证明存在一个包含$K$的紧集$S$，使得$\Omega \setminus S$是连通的。下面的示意图大概能说明我为什么会考虑凸包这个方向...

备注：内容来源于stack exchange，提问作者AAALLL