基于分布的格林表示公式推导

咱们先从Poisson方程的边值问题入手，这是推导格林表示公式的核心背景：
我们要找未知函数$u$，满足：
$$\Delta u=f \ \text{on } U,\phantom{aaa} u=g \ \text{on } \partial U,$$
这里的$U\subseteq\mathbb{R}^{n$是$\mathbb{R}}n$中的开区域，不仅有界，边界还足够光滑；$\Delta$是拉普拉斯算子，$f$是区域内的源项，$g$是边界上给定的函数值。

接下来要引入的格林函数，是解决这个问题的关键工具。它是定义在$U\times \overline U$上的实值函数$G:U\times \overline U \to \mathbb{R}$，写成二元函数形式就是$(x,y)\mapsto G(x,y)$。对每个固定的$x\in U$，这个格林函数要满足下面的条件：
$$\Delta_y G(x,\cdot )=\delta_x,\phantom{aaaaa} G(x,y)=0 \ \text{for all } y\in\partial U$$
这里的$\delta_x$是狄拉克δ函数，第一个方程要在分布意义下去理解——简单说就是它描述了在点$x$处的单位点源效应；第二个条件则是格林函数的齐次边界条件：当$y$落在区域$U$的边界$\partial U$上时，$G(x,y)$的值为0。

其实格林表示公式有个很直观的形式化推导思路，核心是利用格林公式把拉普拉斯算子的作用转化为边界积分和源项积分的组合——把基础概念理清楚后，后续就能顺理成章推导出最终的表示公式啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者russoo