ℝ³中平面的正交基求解问题咨询
原题内容
设$W$是$\mathbb{R}^3$中由笛卡尔方程$x + y - 2z = 0$定义的平面，需要解决以下两个问题：
- 求子空间$W$的一个正交基$B_W$，以及一个能扩展$B_W$的$\mathbb{R}^3$的正交基$B$。
- 设$P: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$是到$W$上的正交投影，求$P$的矩阵表示$[P]$。
我的疑问
我不确定该如何解决这道题的第1部分，想请你帮忙解答。我不确定选择$x=0,y=1$然后再选择$x=1,y=0$这样的方式是否可行，我……
问题解答（针对第1部分）
别担心，你的思路其实没跑偏，只是需要多一步正交化的操作——你一开始选的是$W$的普通线性无关基，还得把它变成正交基才行。我一步步给你理清楚：
1. 先找$W$的普通线性无关基
平面方程$x + y - 2z = 0$可以改写为$x + y = 2z$，这意味着平面内的所有向量都满足这个约束条件。你选的赋值方式完全是有效的：
- 当$x=0,y=1$时，代入方程得$0+1=2z$，解得$z=1/2$，对应向量$\boldsymbol{v_1} = (0, 1, 1/2)$
- 当$x=1,y=0$时，代入方程得$1+0=2z$，解得$z=1/2$，对应向量$\boldsymbol{v_2} = (1, 0, 1/2)$
这两个向量线性无关，且都在平面$W$内，是$W$的一组普通基，但它们不是正交的——你可以算下内积：$\boldsymbol{v_1} \cdot \boldsymbol{v_2} = 01 + 10 + (1/2)(1/2) = 1/4 \neq 0$，不符合正交基的要求，所以需要下一步。
2. 用施密特正交化得到$W$的正交基$B_W$
我们用刚才的普通基来做正交化操作：
- 第一步：直接取$\boldsymbol{v_1}$作为正交基的第一个元素，即$\boldsymbol{u_1} = \boldsymbol{v_1} = (0, 1, 1/2)$
- 第二步：计算第二个正交向量$\boldsymbol{u_2}$，公式是$\boldsymbol{u_2} = \boldsymbol{v_2} - \text{proj}{\boldsymbol{u_1}}(\boldsymbol{v_2})$，其中$\text{proj}{\boldsymbol{u_1}}(\boldsymbol{v_2})$是$\boldsymbol{v_2}$在$\boldsymbol{u_1}$上的正交投影。
先算几个关键的内积：
- $\boldsymbol{v_2} \cdot \boldsymbol{u_1} = 1/4$（刚才已经算过）
- $\boldsymbol{u_1} \cdot \boldsymbol{u_1} = 0^2 + 1^2 + (1/2)^2 = 1 + 1/4 = 5/4$
代入投影公式得：
$\text{proj}_{\boldsymbol{u_1}}(\boldsymbol{v_2}) = \frac{1/4}{5/4} \boldsymbol{u_1} = (0, 1/5, 1/10)$
所以$\boldsymbol{u_2} = (1, 0, 1/2) - (0, 1/5, 1/10) = (1, -1/5, 2/5)$
现在$\boldsymbol{u_1}$和$\boldsymbol{u_2}$的内积为0，是正交的，且都属于$W$，所以$B_W = {\boldsymbol{u_1}, \boldsymbol{u_2}}$就是$W$的一组正交基。
3. 扩展为$\mathbb{R}^3$的正交基$B$
要把$B_W$扩展到整个$\mathbb{R}^3$，只需要找一个和$W$中所有向量都正交的向量——也就是平面的法向量。
从平面方程$x + y - 2z = 0$可以直接得到法向量$\boldsymbol{n} = (1, 1, -2)$，你可以验证它和$B_W$里的两个向量都正交：
- $\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{u_1} = 01 + 11 + (1/2)*(-2) = 1 - 1 = 0$
- $\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{u_2} = 1*1 + (-1/5)1 + (2/5)(-2) = 1 - 1/5 - 4/5 = 0$
把这个法向量加入$B_W$，就得到了$\mathbb{R}^3$的正交基$B = {\boldsymbol{u_1}, \boldsymbol{u_2}, \boldsymbol{n}}$。
如果题目要求的是标准正交基（每个向量都是单位向量），你只需要把每个向量除以它的模长即可，但题目只要求正交基，上面的结果已经满足要求了。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者a7777
