左伴随函子下X与GF(X)是否同构的技术问询

设函子 $F:C\rightarrow D$ 和 $G:D\rightarrow C$，其中 $F$ 是 $G$ 的左伴随，即满足：
$$\text{Hom}_D(FX,Y)\cong \text{Hom}_C(X,GY),\forall X,Y$$
那么是否对任意 $X\in C$，都有 $X\cong GF(X)$？

我原本觉得这是对的，尝试通过伴随关系得到：
$$\text{Hom}_C(X,GF(X))=\text{Hom}_D(F(X),F(X))$$
右边我们知道 $F(X)\cong F(X)$，所以我觉得左边也应该有 $X\cong GF(X)$。但在函子伴随的定义里，并没有要求这个双射...

其实这个结论并不成立哦，我给你举个经典的例子就能明白：

考虑集合范畴 $\mathbf{Set}$ 和阿贝尔群范畴 $\mathbf{Ab}$：

• 自由阿贝尔群函子 $F:\mathbf{Set}\rightarrow \mathbf{Ab}$：把任意集合 $X$ 映射到以 $X$ 为生成元的自由阿贝尔群 $F(X)$，集合间的态射对应到群同态；
• 遗忘函子 $G:\mathbf{Ab}\rightarrow \mathbf{Set}$：把阿贝尔群映射到它的底层元素集合，群同态对应到集合间的映射。

这两个函子是标准的伴随对，$F$ 是 $G$ 的左伴随。但你看，比如取集合 $X={a,b}$，$GF(X)$ 是自由阿贝尔群 $F(X)$ 的底层集合，里面包含了所有形如 $na+mb$（$n,m\in\mathbb{Z}$）的元素，这个集合的大小是无穷的，显然和原集合 $X={a,b}$ 不是同构的（作为集合）。

那你之前的推导哪里出问题了呢？其实你得到 $\text{Hom}_C(X,GF(X))\cong \text{Hom}_D(FX,FX)$ 是对的，右边确实存在一个恒等态射，但这只能说明左边存在一个对应于这个恒等态射的态射 $\eta_X:X\rightarrow GF(X)$——这个态射叫做伴随对的单位态射，是伴随结构里的关键部分，但它不一定是同构。只有当伴随对是范畴等价的一部分时，这个单位态射才会是同构，此时 $X$ 和 $GF(X)$ 才会同构。

简单来说：左伴随函子对应的单位态射未必是同构，所以 $X$ 和 $GF(X)$ 不一定同构，只有在更强的条件下（比如伴随对构成范畴等价）才成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user11695417