关于绝对最大值点处函数连续性的疑问

嘿，我来帮你把这个知识点掰明白——错这题真的不怪你，这是Calc AB阶段很容易踩的一个概念坑！

首先得把两个核心概念的边界划清楚：

• 绝对最大值的定义：函数$f$在$x=3$处有绝对最大值，只需要满足两个简单条件：

  1. $x=3$在$f$的定义域内
  2. 对$f$定义域里的每一个$x$，都有$f(3) \geq f(x)$
     你看，这个定义里根本没提“连续性”这回事，它只关心函数值的全局大小关系，完全不涉及函数在$x=3$附近的变化趋势。

• 连续性的要求：函数在$x=3$处连续，需要满足$\lim_{x \to 3} f(x) = f(3)$，这是一个关于局部极限与函数值匹配的要求，和函数值的大小没有直接关联。

给你举个直观的反例，一看就懂：

f(x) = 
  \begin{cases}
    5, & x = 3 \\
    0, & x \neq 3
  \end{cases}

这个函数里，$f(3)=5$，而定义域内所有其他点的函数值都是0，显然$f(3)$比所有其他点的函数值都大，所以$x=3$是它的绝对最大值点。但当$x$趋近于3时，函数的极限是0，和$f(3)=5$不相等，所以$f(x)$在$x=3$处完全不连续。

说白了，绝对最大值是“我这个点的函数值是全场最大的”，而连续性是“我这个点和周围的点是连在一起的”——这俩是完全独立的两个属性，没有谁推出谁的必然关系。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user163862