关于利用面积极限表示有限周长集周长的可行性问询

各位好，我想请教一个问题：有没有办法用面积的极限表达式来表示有限周长集的周长？我把问题的前提条件和我的初步思路说清楚：

假设 $E \subset \mathbb{R}^n$ 是一个有限周长集——也就是分布 $|D \chi_E|$ 属于有界变差函数空间 $BV$。此时该集合的周长 $P(E)= \mathcal{H}^{n-1}(\Gamma)$，其中 $d \mathcal{H}^{n-1}$ 是Hausdorff测度，$\Gamma = \partial ^\ast E$ 是 $E$ 的约化边界。另外我还假设 $E$ 是紧集，且完全包含在某个球 $B$ 中。

我第一个想到的切入点是考虑一族邻域 $I_t$，它的定义式如下（原定义未完整给出）：
$$
I_t = \dots
$$
我本来打算通过这族邻域的面积相关极限来推导周长的表达式，但目前还没理清具体的实现路径，想问问大家这个方向是否可行，或者有没有其他更合适的面积极限构造方式？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者XIII