结合Alexandroff extension与projective space分析含实零点的至多二次非零实系数单变量多项式集合性质的技术问询

咱们先明确研究的核心对象：设$\mathcal{P}$是所有含实零点的至多二次非零实系数单变量多项式构成的集合，每个元素$P(x)$都可表示为$P(x)\equiv a x^2 + b x + c$（其中$a,b,c\in\mathbb{R}$，且$P(x)$不恒为零），且该多项式至少拥有一个实零点。

接下来我们可以对集合里的多项式做归一化处理，来简化分析：

• 当二次项系数$a\neq0$时，二次多项式$P(x)=a x^2 + b x + c$的实零点，和归一化后的多项式$Q(x)=x^2 + u x + v$的实零点完全相同，这里的$u=\frac{b}{a}$，$v=\frac{c}{a}$。
• 当$a=0$时，$P(x)$退化为一次非零多项式（因为$P(x)$非零，所以一次项系数$b\neq0$），我们可以把它整理为$L(x)=x + w$的形式（其中$w=\frac{c}{b}$）。有意思的是，这类一次多项式其实可以看作是二次归一化多项式$Q(x)$在$(u,v)\to(\infty,\infty)$时的极限情形——直观来讲，就是当二次项系数趋近于0时，二次多项式逐渐“退化”为一次多项式的过程。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Roy