关于射影空间$\mathbb{P}^n$上直和线丛外幂同构的问题

嘿，这个问题拆成几步就很清晰了，咱们从向量丛外幂的基本性质说起：

• 首先得记住向量丛外幂的直和分解性质：对于任意有限个向量丛的直和，它的$p$次外幂，等价于从这些丛里选$p$个的所有可能组合，每个组合对应的$p$个丛的张量积的直和（这其实是线性空间外幂直和分解性质在向量丛上的直接推广，毕竟向量丛每一点的纤维就是线性空间，丛的同构本质是每点纤维同构+过渡函数兼容）。

• 接下来用到线丛张量积的核心性质：射影空间上的扭化结构丛满足$\mathcal{O}(a) \otimes \mathcal{O}(b) \cong \mathcal{O}(a+b)$。咱们这里每个组合里的$p$个丛都是$\mathcal{O}(-1)$，那$p$个$\mathcal{O}(-1)$做张量积，结果就是$\mathcal{O}(-1) \otimes \dots \otimes \mathcal{O}(-1)$（共$p$次），也就是$\mathcal{O}(-p)$。

• 最后数一下直和项的数量：从$n$个线丛里选$p$个的不同组合数，就是组合数$\binom{n}{p}$。把$\binom{n}{p}$个$\mathcal{O}(-p)$直和起来，自然就是$\mathcal{O}(-p)^{\binom{n}{p}}$。

再补个小细节验证：从局部看，每一点的纤维上这个分解就是线性代数里的外幂直和结论，全局的过渡函数也会自然适配这个分解，所以整个向量丛的同构是完全成立的~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者fish_monster