泊松随机变量的对数变换在λ→∞时的渐近正态性验证问询

哈喽，咱们来仔细拆解这个问题：

给定随机变量 $K\sim\operatorname{Poisson}(\lambda)$，定义如下对数变换：
$$V(K)=\log\left(\frac{K}{\beta}+1\right)$$
其中 $\beta>0$。

我们要验证的核心结论是：当$\lambda\to\infty$时，$V$的分布渐近服从正态分布。

推导思路梳理 #

• 引理1：当$\lambda\to\infty$时，$K$依分布收敛到正态分布$\mathcal N(\lambda,\lambda)$。
  这个结论可以通过特征函数的收敛性来证明：
  先定义标准化后的随机变量
  $$K^\prime=\frac{K-\lambda}{\sqrt \lambda}$$
  只要证明当$\lambda\to\infty$时，$K^\prime$的特征函数收敛到标准正态分布$\mathcal N(0,1)$的特征函数，就能完成引理1的证明。

• 引理2：设$\tilde V(K)$是$V(K)$的一阶展开式...（注：原文此处内容未完成）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Aaron Hendrickson