关于基于开覆盖的闭集等价判定引理的证明求助

最近我在研究Zariski拓扑相关的内容，看到一个引理，按理说应该是个初等结论，但我折腾了半天还是没证出来，想请大家帮我捋捋思路。先把这个引理列出来：

引理：设$S\subseteq X$，${U_i}_{i\in I}$是$X$的一个开覆盖，那么$S$在$X$中闭当且仅当$S\cap U_i$在每个$U_i$中闭。

我自己尝试了一下：当$S\cap U_i$在每个$U_i$中闭的时候，我能得到式子$S = \bigcup_{i\in I} (S\cap U_i)$，但到这儿就卡住了，不知道怎么往下推导出$S$在$X$中是闭集。有没有大佬能给点提示或者完整的证明呀？

备注：内容来源于Stack Exchange，提问作者Zoudelong