已知两边及夹角的三角形类型判定问题求解咨询

哈喽，我来帮你搞定这个三角形类型的判定问题！其实不用硬啃余弦定理的复杂计算，有更巧妙的思路哦，先看题目：

在$\triangle ABC$中，$\angle C = 30^\circ$，$a=47 \text{ cm}$，$b=94 \text{ cm}$（这里提醒下，三角形标准记法里，$a$对应$\angle A$的对边，$b$对应$\angle B$的对边）。

简便解法：用正弦定理快速判断 #

你有没有发现$b=94=2\times47=2a$？结合$\angle C=30^\circ$，我们用正弦定理来推导：
根据正弦定理：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
代入已知的$a$、$b$，可得$\frac{47}{\sin A} = \frac{94}{\sin B}$，化简后得到$\sin B=2\sin A$。

再结合三角形内角和为$180^\circ$，$\angle A + \angle B = 180^\circ - 30^\circ=150\circ$，即$\angle B=150^\circ - \angle A$。把这个代入上面的式子：
$$\sin(150^\circ - A) = 2\sin A$$
用正弦差角公式展开左边：
$$\sin150^\circ\cos A - \cos150^\circ\sin A = 2\sin A$$
代入$\sin150^{\circ=\frac{1}{2}$，$\cos150}\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，化简后：
$$\frac{1}{2}\cos A + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin A = 2\sin A$$
移项整理可得：
$$\tan A = \frac{4 + \sqrt{3}}{13} \approx 0.441$$
算出$\angle A\approx23.8^\circ$，那$\angle B=150^\circ-23.8\circ=126.2^{\circ$——这个角度明显大于$90}\circ$，所以这是个钝角三角形，对应选项d。

补完你用余弦定理的计算 #

其实你一开始的思路没问题，只是可能觉得计算繁琐，我帮你补完后续步骤：
从你列的式子：
$$47 \times 94 \times \sqrt{3} = 11045 - c^2$$
计算左边：$47\times94=4418$，$4418\times\sqrt{3}\approx7652$，所以：
$$c^2=11045-7652=3393$$
接下来判断最大边（$b=94$）对应的角$\angle B$，用余弦定理：
$$\cos B=\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}=\frac{2209+3393-8836}{2\times47\times58.25}\approx-0.59$$
$\cos B$为负数，说明$\angle B$是钝角，同样得出这是钝角三角形的结论。

下次遇到这种两边成倍数关系的情况，可以先试试用正弦定理结合角度关系，能省不少计算量哦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ciup Titu