关于证明向量的克罗内克积是张量积的技术问询

嘿，我来帮你一步步梳理这个问题——先从你给出的张量积定义入手，再针对性地推导克罗内克积对应的映射满足张量积的核心条件。

首先明确你引用的张量积定义：

一个序偶 $(E\otimes F,\otimes)$，其中 $E,F,E\otimes F$ 都是向量空间，$\otimes: E\times F\to E\otimes F$ 是双线性映射，当且仅当满足以下两个条件时，称其为张量积：

• $\text{Im} \otimes$ 生成 $E\otimes F$（即 $E\otimes F$ 中任意元素都能表示为 $\otimes$ 作用结果的线性组合）；
• 对任意向量空间 $G$ 和任意双线性映射 $\varphi: E\times F\to G$，都存在线性映射 $f:E\otimes F\to G$，使得 $\varphi=f\circ \otimes$（这就是张量积的泛性质）。

接下来我们聚焦要证明的映射：$\varphi: \Gamma^n\times \Gamma^m\to M^{n\times m}$（这里默认 $\Gamma^n$ 是 $n$ 维列向量空间，$M^{n\times m}$ 是 $n\times m$ 矩阵空间，$\varphi$ 对应将列向量 $u\in\Gamma^{n$、$v\in\Gamma}m$ 映射为矩阵 $uv^\top$ 的克罗内克积操作），验证它满足张量积的两个条件：

第一步：验证双线性性 #

先确认 $\varphi$ 是双线性映射：

• 对第一个变量的线性性：任取 $u_1,u_2\in\Gamma^n$、标量 $\lambda$，有 $\varphi(\lambda u_1+u_2, v) = (\lambda u_1+u_2)v^\top = \lambda u_1v^\top + u_2v^\top = \lambda\varphi(u_1,v) + \varphi(u_2,v)$；
• 对第二个变量的线性性：任取 $v_1,v_2\in\Gamma^m$、标量 $\mu$，有 $\varphi(u, \mu v_1+v_2) = u(\mu v_1+v_2)^\top = \mu uv_1^\top + uv_2^\top = \mu\varphi(u,v_1) + \varphi(u,v_2)$。
  显然 $\varphi$ 符合双线性要求。

第二步：验证像集生成目标空间 #

我们需要证明 $M^{n\times m}$ 中任意矩阵都能表示为 $\varphi(u,v)=uv^\top$ 这类矩阵的线性组合：
$M^{n\times m}$ 的标准基是 ${E_{ij}\mid 1\leq i\leq n,1\leq j\leq m}$，其中 $E_{ij}$ 是仅第 $i$ 行第 $j$ 列元素为1的矩阵。而 $E_{ij} = e_i e_j^\top$（$e_i$ 是 $\Gamma^n$ 的第 $i$ 个标准单位列向量，$e_j$ 是 $\Gamma^m$ 的第 $j$ 个标准单位列向量），也就是说每个基元素都属于 $\varphi$ 的像集，因此像集的线性组合可以生成整个 $M^{n\times m}$，满足第一个条件。

第三步：验证泛性质 #

假设存在任意向量空间 $G$ 和双线性映射 $\psi: \Gamma^{n\times\Gamma}m\to G$，我们构造线性映射 $f: M^{n\times m}\to G$ 满足 $\psi(u,v) = f(\varphi(u,v))$：

1. 对 $M^{n\times m}$ 的基元素 $E_{ij}=e_i e_j^\top$，定义 $f(E_{ij}) = \psi(e_i,e_j)$；
2. 将 $f$ 线性扩展到整个空间：对任意矩阵 $A = \sum_{i,j} a_{ij} E_{ij}$，令 $f(A) = \sum_{i,j} a_{ij} \psi(e_i,e_j)$。

验证这个映射的合理性：
任取 $u = \sum_{i=1}^n u_i e_i$、$v = \sum_{j=1}^m v_j e_j$，则 $\varphi(u,v) = uv^\top = \sum_{i,j} u_i v_j E_{ij}$，代入 $f$ 得：
$$
f(\varphi(u,v)) = \sum_{i,j} u_i v_j \psi(e_i,e_j)
$$
而由于 $\psi$ 是双线性的，$\psi(u,v) = \psi\left(\sum_{i} u_i e_i, \sum_{j} v_j e_j\right) = \sum_{i,j} u_i v_j \psi(e_i,e_j)$，显然 $\psi(u,v) = f(\varphi(u,v))$，满足泛性质要求。

至此，我们证明了该克罗内克积映射符合张量积的定义，确实是一个张量积。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者kotori061025