关于模论中张量积单射性与正合性的技术问询

嘿，我最近在处理模论里的一个张量积正合性问题，想跟大家说说我的初步想法，也求各位大佬指点迷津：

设$R$是含幺交换环。若$N$是$M$的子模，且对任意$r\in R, m\in M$，满足$rmR=r^2mR$，则对每个$R$-模$E$，序列$0\to N\otimes E\to M\otimes E$都是正合的。

我的证明思路是这样的：
要证明这个结论，首先得证映射$f:N\otimes E\to M\otimes E$（其中$f(m\otimes e)=m\otimes e$，这里的$m\in N$）是单射。一开始我觉得这步挺显然的——因为$N$是$M$的子模，存在一个自然的单射$\iota:N\to M$，这个嵌入映射应该能直接诱导出$f:N\otimes E\to M\otimes E$的单射性...

但后来我反应过来，好像哪里想错了？毕竟一般来说，子模的嵌入映射诱导的张量积映射不一定是单射啊，只有像纯子模这种特殊情况才成立。可题目里特意给了$rmR=r^2mR$这个条件，我肯定是忽略了这个关键前提才会想当然。有没有人能帮我捋清楚，这个条件该怎么用来证明$f$的单射性？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sulayman