关于DFSM状态等价性证明方法及自身证明思路正确性的问询

嘿，我想确认一下我下面这个证明思路是不是正确的？

我需要证明的内容：

给定$p$和$q$是任意确定有限状态自动机（DFSM）$M$的两个状态，要证明$p≡q$（状态等价），我需要证明对于任意自然数$n$，都有$p≡ₙq$（$n$步等价）。也就是说，我需要证明：对于任意长度为自然数的字符串$w\in\Sigma^*$，$\delta(p,w)$被$M$接受当且仅当$\delta(q,w)$被$M$接受。为了证明这一点，我打算对$|w|$（字符串$w$的长度）进行归纳。

基础情况：我需要证明$p$...

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mak_7