利用ε-δ定义计算函数极限时的悖论求解

各位大佬好，我最近在用ε-δ定义计算函数极限时碰到了一个想不通的悖论，特地来请教。我在Apostol的《数学分析》里学过这么一个定理：对于实数$a, b, \epsilon \in \mathbb{R}$，如果对每一个$\epsilon > 0$，都有$a < b+\epsilon$，那么就能推出$a\leq b$。

现在我想拿这个定理来计算函数$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}; x\mapsto \frac{(x+1)(x-1)}{x-1}$在$x_0=1$处的极限——先假设这个极限是存在的。我本来打算结合ε-δ定义来推导，但过程中总觉得哪里矛盾，理不清头绪。

先说说这个函数的情况：除了$x=1$处没定义，其他点上$f(x)$其实就是$x+1$，直观上感觉极限应该是2，但我想严格用ε-δ和那个定理来验证，结果绕进去了。

按照ε-δ定义，如果极限$L$存在，那对于任意$\epsilon>0$，总能找到一个$\delta>0$，当$0<|x-1|<\delta$时，就有$|f(x)-L|<\epsilon$，也就是$L - \epsilon < f(x) < L + \epsilon$。因为$x≠1$时$f(x)=x+1$，所以这个不等式可以写成$L - \epsilon < x+1 < L + \epsilon$，进一步变形就是$L - \epsilon -1 < x < L + \epsilon -1$。

而我们的前提是$x$满足$0<|x-1|<\delta$，也就是$1-\delta < x < 1+\delta$（$x≠1$）。这时候我就想把这个和学到的定理结合起来，但好像哪里逻辑出错了，导致看起来有悖论。

后来我重新理了一遍逻辑才发现问题所在：ε-δ定义里是先给定任意$\epsilon>0$，再找对应的$\delta>0$，而那个定理要求的是**对所有$\epsilon>0$**都满足某个不等式，才能推出$a\leq b$，我之前把这两个逻辑顺序搞混了。

正确的推导应该是这样的：

• 假设$L$是$f(x)$在$x\rightarrow1$处的极限，根据ε-δ定义，对任意$\epsilon>0$，存在$\delta>0$，当$0<|x-1|<\delta$时，$|(x+1)-L|<\epsilon$（因为$x≠1$时$f(x)=x+1$）。
• 这个不等式等价于$L - \epsilon < x+1 < L + \epsilon$。因为$x$可以无限接近1，$x+1$就可以无限接近2，所以对于左边的不等式：如果$2 > L + \epsilon$，那当$x+1$足够接近2时，就会大于$L+\epsilon$，违反不等式，因此对任意$\epsilon>0$，必然有$2 \leq L + \epsilon$。根据那个定理，就能推出$2 \leq L$。
• 同理，对于右边的不等式：如果$L > 2 + \epsilon$，那当$x+1$足够接近2时，$x+1 < L - \epsilon$，也违反不等式，所以对任意$\epsilon>0$，$L \leq 2 + \epsilon$。再用定理，就能推出$L \leq 2$。
• 结合$2 \leq L$和$L \leq 2$，自然就得到$L=2$，和直观结果完全一致。

原来我之前的“悖论”完全是自己逻辑顺序搞反导致的，理清之后就通顺了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者urhie