关于主值积分$\mathcal P \int_0^\infty \frac{x \tanh x}{a^2-x^2} \mathrm dx$的求解疑问（$a\equiv\dfrac{\hbar\omega}{2k_BT}$）

嗨各位大佬！我马上要开始读凝聚态理论物理的硕士了，最近提前啃研究要用的论文时，碰到了这么一个主值积分：

$$\mathcal P \frac1\pi {\LARGE \int}_0^\infty \frac{\omega' \tanh \left(\dfrac{\hbar\omega'}{2k_BT}\right)}{\omega^2-\omega'2} \mathrm d\omega'$$

论文里给出的结果是：
$$
\begin{align}
& \mathcal P \frac1\pi {\LARGE \int}_0^\infty \frac{\omega' \tanh \left(\dfrac{\hbar\omega'}{2k_BT}\right)}{\omega^2-\omega'2} \mathrm d\omega'
\[2mm] = & \ \mathrm{Re}\Psi \left(\frac12+\frac{\hbar\omega}{2\pi ik_BT}\right)- \ln\left(\frac{\hbar\omega}{k_BT}\right)
\end{align}
$$

为了简化问题，我把$\dfrac{\hbar\omega}{2k_BT}$记作$a$，这样积分就可以写成$\mathcal P \int_0^\infty \frac{x \tanh x}{a^2-x2} \mathrm dx$的形式，和标题里的一致。

我自己参考过类似积分的推导思路，已经能算出含Digamma函数（Ψ函数）的那部分了，但最后得到的对数项和论文里的不一样，现在有点卡壳。有没有大佬能帮忙理清一下这个对数项的差异问题呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Roy Prishkulnik