不使用洛必达法则求解数列$e_n = \log_n (n+1)$的极限
当然可以不用洛必达法则搞定这个极限！先给大家回顾一下题目里提到的常规洛必达思路（方便我们对照着看区别）：
首先利用换底公式转化原式：
$$\log_n (n+1) = \frac{\ln (n+1)}{\ln (n)}$$
当$n \to \infty$时，分子$\ln(n+1)$和分母$\ln(n)$都趋向于正无穷，这时候用洛必达法则对分子分母分别求导：
令$f(n) = \ln(n+1)$，$g(n) = \ln(n)$，则$f'(n) = \frac{1}{n+1}$，$g'(n) = \frac{1}{n}$，代入后得到：
$$\lim_{n\to\infty} \frac{\ln (n+1)}{\ln (n)} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n+1} = 1$$
接下来重点来了——不用洛必达法则，我们用对数基本性质和基础极限结论就能解：
方法一：拆分对数项
还是先靠换底公式转化：
$$\log_n(n+1) = \frac{\ln(n+1)}{\ln n}$$
把分子里的$\ln(n+1)$拆成$\ln\left(n\left(1+\frac{1}{n}\right)\right)$，利用对数乘积法则$\ln(ab)=\ln a + \ln b$展开：
$$\frac{\ln n + \ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\ln n} = 1 + \frac{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\ln n}$$
现在分析第二项的极限：
- 当$n \to \infty$时，$\frac{1}{n} \to 0$，我们有经典的等价无穷小结论：$\ln(1+x) \sim x$（$x \to 0$），所以$\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) \sim \frac{1}{n}$；
- 分母$\ln n$当$n \to \infty$时趋向于正无穷，分子$\frac{1}{n}$趋向于0，因此$\frac{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\ln n} \to 0$。
因此整个式子的极限就是：
$$\lim_{n\to\infty} \left[1 + \frac{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\ln n}\right] = 1 + 0 = 1$$
方法二：指数形式转化
令$L = \lim_{n\to\infty} \log_n(n+1)$，根据对数定义可得$n^L = n+1$，两边除以$n$：
$$n^{L-1} = 1 + \frac{1}{n}$$
两边取自然对数：
$$(L-1)\ln n = \ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$$
整理得：
$$L-1 = \frac{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\ln n}$$
和方法一的结论一致，当$n \to \infty$时右边趋向于0，所以$L=1$。
两种方法都完全绕开了洛必达法则，靠基础的对数性质和极限结论就解决了问题～
备注：内容来源于stack exchange，提问作者anon
