拟赋范拓扑向量空间上伪度量的定义及明确描述咨询

嗨，这个问题问到点子上了！拟赋范拓扑向量空间的伪度量确实有明确的构造方式，而且和它自带的拟范数紧密相关，我给你详细拆解一下：

首先，先回顾下拟范数的核心性质：拟范数 ||·|| 满足：

• ||x|| ≥ 0，且 ||0|| = 0
• ||-x|| = ||x||
• 存在常数 C ≥ 1，对所有 x,y ∈ X，有 ||x + y|| ≤ C(||x|| + ||y||)（这就是和普通范数的区别，三角不等式带了个常数系数）
• 当标量 tₙ → 0 时，||tₙx|| → 0 对任意 x ∈ X 成立

基于这个拟范数，我们可以构造出符合要求的伪度量，常见的两种方法：

方法一：通过路径和的下确界构造 #

定义伪度量 d(x, y) = inf{ ∑ₖ=1ⁿ ||xₖ - xₖ₋₁|| | n ∈ ℕ, x₀ = x, xₙ = y }
简单来说，就是找所有从 x 到 y 的有限点列路径，把路径上相邻点的拟范数距离加起来，取这些和的最小值。这个 d 满足：

• d(x,y) ≥ 0，d(x,x) = 0
• d(x,y) = d(y,x)
• 标准三角不等式 d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z)
  而且它生成的拓扑和原拟范数诱导的拓扑完全一致，是平移不变的伪度量。

方法二：利用等价p-拟范数构造 #

一个重要的结论是：任何拟范数都等价于一个p-拟范数（其中 0 < p ≤ 1），也就是满足 ||x + y||ᵖ ≤ ||x||ᵖ + ||y||ᵖ 的拟范数。
如果我们用这个等价的p-拟范数，直接定义 d(x,y) = ||x - y||ᵖ，那么这个 d 就是一个伪度量：

• 平移不变性：d(x+z, y+z) = ||(x+z)-(y+z)||ᵖ = ||x-y||ᵖ = d(x,y)
• 三角不等式：d(x,z) = ||x-z||ᵖ = ||(x-y)+(y-z)||ᵖ ≤ ||x-y||ᵖ + ||y-z||ᵖ = d(x,y) + d(y,z)
  同样，这个伪度量诱导的拓扑和原拟赋范空间的拓扑等价。

需要注意的是，这里的伪度量之所以是“伪”的，是因为如果原拟范数是拟半范数（即存在非零元 x 使得 ||x||=0），那么 d(x,0)=0 但 x ≠ 0；如果原拟范数是真拟范数（||x||=0 ⇨ x=0），那这个伪度量其实就是度量了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者J. S.