证明当$c \geq 1$且$x > c$时，$(1-\frac{1}{x})^{x-1} \cdot (1+\frac{1}{x-c})^{x-c} \leq 1$的方法求助

大家好，我最近碰到这么个数学问题：假设$c \geq 1$，想要证明函数
$$f(n) = \left(1-\frac{1}{n}\right)^{n-1} \cdot \left(1+\frac{1}{n-c}\right)^{n-c}$$
对于所有$n > c$的情况，都满足$f(n) \leq 1$。

我自己琢磨了个思路，感觉最快的证明方式应该是把$f$延拓到实数域$\mathbb{R}$上，然后借助导数来推导结果。我注意到$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = e^{-1} \cdot e =1$，所以只要能证明$f(x)$在$x > c$的区间内是单调递增的，那就能得出$f(x) \leq 1$的结论了。

我已经尝试去计算$f(x)$的导数，但过程实在有点繁琐，想问问大家有没有更清晰的推导思路？或者有没有不用导数的方法也能证明这个不等式呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者thewatcher