关于满足$f(g(x))=x$但$g(x)$非$f(x)$反函数的疑问及三角函数反函数求解问题

我最近碰到了一个挺有意思的函数困惑：

$f(g(x)) = x$ 对于所有$x$成立，
但$g(x)$却不是$f(x)$的逆函数。

刚好我在求解函数$2\sin(3x - 4)$在区间$\left[\frac{4}{3} + \frac{\pi}{6},\frac{4}{3} + \frac{\pi}{6}\right]$的反函数时，就遇到了类似的情况，先跟大家说说我的求解步骤：

$$\begin{align*}
y &= 2 \sin(3x - 4) \
\frac{y}{2} &= \sin(3x - 4) \
\arcsin\left(\frac{y}{2}\right) &= 3x - 4 \
3x &= \arcsin\left(\frac{y}{2}\right) + 4 \
x &= \frac{\arcsin\left(\frac{y}{2}\right) + 4}{3}.
\end{align*}$$

我试着把$y$替换回$2\sin(3x - 4)$代入这个结果，确实得到了$x$。不过如果仔细追踪整个过程的话……

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tymoteusz Wiatrak