关于平方和比值收敛于正常数时序列{b_i}必要条件的技术问询

各位好，我最近碰到这么一个分析方向的问题，想跟大家讨教一下：

设(a_i)、(b_i)都是实数序列，其中每个(b_i)满足(0 < b_i < \infty)。当(n \to \infty)时，若比值
$$
\frac{ \sum_{i=1}^n a_i^{2}{\sum_{i=1}}n a_i^2 b_i} \to c > 0
$$
成立，我想知道序列(b_i)需要满足哪些必要条件？

先跟大家分享我目前试出来的几个例子：

• 当(\lim_{n \to \infty} b_i)收敛到某个常数时，这个比值收敛的情况显然成立，此时极限(c)就是该常数的倒数
• 哪怕(b_i)在两个固定值之间来回振荡，比如奇数项取1、偶数项取2，只要(a_i^2)的权重分布不会极端偏向某一侧，这个比值也能收敛到一个正常数
• 但有些情况是不成立的：比如取(b_i = 1/i)，同时取(a_i^2 = i)，此时分子是(\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2})，分母是(\sum_{i=1}^n i \cdot \frac{1}{i} = n)，比值会趋向于无穷大，完全不满足收敛到正常数的要求

想请教各位，有没有办法总结出(b_i)需要满足的必要条件，或者给出一些更普适的判断规则？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者GCru