递推数列的单调性证明与极限求解求助

嘿，我来帮你理一理，你刚才的推导里有个小错误，先帮你修正下：当$z_1>3$时，$\frac{1}{z_1}<\frac{1}{3}$，所以$\frac{3}{z_1}<1$，而不是9，这是你卡壳的原因之一哦～ 下面分两部分帮你解决问题：

一、证明数列的单调性（递减） #

要证数列递减，我们可以直接计算$z_{n+1} - z_n$的符号，先证数列有下界，再结合差的符号分析：

1. 先证所有$z_n > \sqrt{3}$（数列有下界）
   用数学归纳法来证：

• 当$n=1$时，$z_1>3>\sqrt{3}$，显然成立；
• 假设当$n=k$时，$z_k>\sqrt{3}$，那么对$n=k+1$，根据均值不等式（对正数a,b，$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$，等号仅当a=b时成立）：
  $$z_{k+1}=\frac{1}{2}\left(z_k + \frac{3}{z_k}\right)\geq\sqrt{z_k \cdot \frac{3}{z_k}}=\sqrt{3}$$
  因为$z_k>\sqrt{3}$，所以等号取不到，即$z_{k+1}>\sqrt{3}$。
  由归纳法，所有$z_n>\sqrt{3}$的结论成立。

2. 再证数列严格递减
   直接计算$z_{n+1} - z_n$的差值：
   $$z_{n+1} - z_n = \frac{1}{2}\left(z_n + \frac{3}{z_n}\right) - z_n = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{z_n} - z_n\right) = \frac{3 - z_n^2}{2z_n}$$
   由第一步的结论，$z_n>\sqrt{3}$，所以$z_n^{2>3$，分子$3-z_n}2<0$，分母$2z_n>0$，因此$z_{n+1}-z_n<0$，即$z_{n+1}<z_n$，数列是严格递减的。

二、求数列的极限 #

其实完全不用解递推方程！我们已经证明了数列严格递减且有下界$\sqrt{3}$，根据单调有界定理，这个数列的极限一定存在。

设$\lim_{n\to\infty}z_n=L$，对递推式两边同时取极限：
$$L = \frac{1}{2}\left(L + \frac{3}{L}\right)$$
两边乘$2L$（因为$z_n>\sqrt{3}>0$，所以$L\geq\sqrt{3}>0$，可以放心乘）：
$$2L^2 = L^2 + 3$$
整理得$L^2=3$，又因为$L>0$，所以$L=\sqrt{3}$。

这样就搞定啦，不需要复杂的递推方程求解，用单调有界定理是这类数列问题的常用技巧哦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者anon