一致连续函数列在一致收敛条件下的一致等度连续性判定问题

嘿，咱们来讨论这个问题：假设$X\subset \mathbb{R}$，对每一个自然数$n$，函数$f_n:X\to\mathbb{R}$都是一致连续的，而且$f_n \rightrightarrows f$（也就是一致收敛到$f$），那能不能推出函数列$(f_n)$是一致等度连续的呢？

我自己先试着推导了一下，步骤是这样的：

给定任意$\varepsilon > 0$：

1. 因为$f_n$一致收敛到$f$，所以存在一个只依赖于$\varepsilon$的自然数$n_0(\varepsilon)$，使得对所有$n\geq n_0$的情况，不管$x$是$X$里的哪个点，都有$|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon/3$。

2. 咱们有个结论：一致连续函数的一致极限也是一致连续的，所以这里的$f$肯定是一致连续的。那既然$f$一致连续，就存在$\delta_0(\varepsilon)>0$，只要$X$里的两个点$x,y$满足$|x-y|<\delta_0$，就有$|f(x)-f(y)|<\varepsilon/3$。

3. 对于$n < n_0$的那些有限个函数，它们本身都是一致连续的对吧？那对每个$k=1,2,\dots,n_0-1$，各自存在$\delta_k(\varepsilon)>0$，只要$X$中的$x,y$满足$|x-y|<\delta_k$，就有$|f_k(x)-f_k(y)|<\varepsilon$。

4. 现在咱们取$\delta = \min{\delta_0, \delta_1, \delta_2, \dots, \delta_{n_0-1}}$，这个$\delta$肯定是大于0的，因为是有限个正数的最小值。

接下来咱们验证这个$\delta$能不能满足一致等度连续的要求：

• 当$n \geq n_0$时，对任意满足$|x-y|<\delta$的$x,y\in X$，用三角不等式拆一下：
  $|f_n(x)-f_n(y)| \leq |f_n(x)-f(x)| + |f(x)-f(y)| + |f(y)-f_n(y)|$
  把之前得到的三个小于$\varepsilon/3$的不等式带进去，加起来就是$\varepsilon/3 + \varepsilon/3 + \varepsilon/3 = \varepsilon$，完全符合条件。
• 当$n < n_0$时，因为$\delta$是所有$\delta_k$里的最小值，所以$\delta \leq \delta_n$，那只要$|x-y|<\delta$，直接就满足$|f_n(x)-f_n(y)|<\varepsilon$，也符合要求。

这么一来，不管$n$是哪个自然数，只要$X$中的两点$x,y$距离小于$\delta$，就有$|f_n(x)-f_n(y)|<\varepsilon$，这就说明函数列$(f_n)$是一致等度连续的啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Lloth