关于光滑Bump函数各阶导数在0处的求和级数收敛性的问询

先给大家明确一下咱们要讨论的经典bump函数$f$：
$$
f(x)=\begin{cases}\exp\left(\frac{1}{x^2-1}\right) & |x| \lt 1 \0 & |x|\ge 1\end{cases}
$$

我现在纠结的核心问题是：把这个函数在0点处的所有阶导数加起来，也就是下面这个级数
$$
\sum_{k=0}^{\infty} f^{(k)}(0)
$$
它到底收敛吗？

之前我了解到，任何测试函数的导数都是无法有界的，但这类结论只说明了上界不存在，却没有给出足够的下界估计来证明上面这个级数是发散的。我自己试着数值计算了前几项的部分和，看起来这个级数增长得特别快，但就是找不到严谨的证明思路，真心求各位大佬帮忙解答！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者rapgru