关于广义Wachspress重心坐标定义的疑问

嘿，这个问题提得特别到位！你发现的这个“顶点处比值趋向无穷”的矛盾，其实是因为你看到的只是Wachspress坐标的未归一化分量，完整的定义还需要关键的归一化步骤——把每个顶点对应的这个比值，除以所有顶点比值的总和，这样就能解决顶点处的问题了。

具体来说，完整的Wachspress坐标$\lambda_i(x)$应该是这样的：
$$
\lambda_i(x) = \frac{ \frac{A(v_{i-1}, v_i, v_{i+1})}{A(x, v_{i-1}, v_i)A(x, v_i, v_{i+1})} }{ \sum_{j=1}^n \frac{A(v_{j-1}, v_j, v_{j+1})}{A(x, v_{j-1}, v_j)A(x, v_j, v_{j+1})} }
$$

当$x$正好落在顶点$v_k$上时，对于$i \neq k$的项，分母里的两个有符号面积都是有限值，所以这些项都是有限的；但$i=k$的项会因为分母趋向0而变成无穷大，此时总和里的主导项就是这个无穷大的项。做归一化之后，$\lambda_k(x)$就会趋向1，其他$\lambda_i(x)$趋向0——这完全符合重心坐标的核心要求：在顶点$v_k$处，对应的坐标为1，其余坐标为0。

另外在实际计算场景中，我们也不会直接用这个分式形式，通常会把分子分母同乘所有分母的乘积，转化为多项式比值的形式，从根源上避免除零的问题，这样顶点处也能直接算出正确结果。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Makogan