关于庞加莱圆盘模型中双曲平面测地曲率的技术问询

我来帮你拆解下庞加莱圆盘模型里双曲测地曲率的相关内容，结合你补充的细节一起梳理：

• 双曲极限圆（Horocycles）：在单位半径的庞加莱圆盘模型中，边界是单位圆，除此之外还有一类特殊的圆——它们并不与边界圆正交，而是相切。其中有一个特殊的极限圆会穿过圆盘的中心。这类极限圆的统一双曲曲率为 $-1$。

• 从Sine-Gordon方程推导双曲测地线：当切比雪夫网的Sine-Gordon方程被两次积分后，我们可以在极坐标下得到这类曲线的轨迹，进而得到双曲测地线的表达式：
  $$ \alpha^{''}= \sin \alpha; \text{令 }~ \alpha = 2 \psi~, \sin \psi= \frac {r}{d},$$
  这些测地线是直径为任意值 $d$ 的圆，它们会穿过圆盘的原点，并且与 $y$ 轴相切。这里的 $\psi$ 是...

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Narasimham