如何求解积分$ \int_{0}^{\infty} e^{-h^2x^2}\,dx $？

嘿，你的换元思路其实没毛病，只是可能需要再往前推一步，或者换个更直接的换元方式~ 我给你两种解法，你看看哪种更顺手：

方法一：转化为标准高斯积分（最常用的思路） #

首先我们默认$h \neq 0$，如果$h$是负数，因为平方的存在，结果其实和$|h|$一致，最后我会补充这点。

• 令换元$t = hx$（假设$h>0$），那么$x = \frac{t}{h}$，对$x$求导得$dx = \frac{dt}{h}$
• 代入原积分，积分上下限也跟着转换：当$x=0$时$t=0$，$x \to \infty$时$t \to \infty$，所以积分变成：
  $$
  \int_{0}^{\infty} e^{-t2} \cdot \frac{dt}{h} = \frac{1}{h} \int_{0}^{\infty} e^{-t2}dt
  $$
• 这里的$\int_{0}^{\infty} e^{-t2}dt$是标准高斯积分，它的结果是$\frac{\sqrt{\pi}}{2}$（如果不知道这个结果怎么来的，我在最后补充了推导）
• 代入后就得到最终结果：
  $$
  \frac{1}{h} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} = \frac{\sqrt{\pi}}{2h}
  $$
• 如果$h$是负数，只需要把$h$换成$|h|$就行，也就是$\frac{\sqrt{\pi}}{2|h|}$，这样就覆盖了所有非零的$h$情况。

方法二：顺着你原来的换元继续推导 #

你一开始设了$u = h^2x2$，我们接着往下走：

• 因为$x \geq 0$，所以可以解出$x = \frac{\sqrt{u}}{h}$
• 对$u = h^2x2$求导：$du = 2h^2x dx$，整理一下得到$dx = \frac{du}{2h^2x}$，把$x = \frac{\sqrt{u}}{h}$代入，就有：
  $$
  dx = \frac{du}{2h^2 \cdot \frac{\sqrt{u}}{h}} = \frac{du}{2h\sqrt{u}}
  $$
• 把$x$和$dx$代入原积分，积分上下限还是从0到∞，所以：
  $$
  \int_{0}^{\infty} e^{-u} \cdot \frac{du}{2h\sqrt{u}} = \frac{1}{2h} \int_{0}^{\infty} u^{{-\frac{1}{2}}e}{-u}du
  $$
• 这个积分是Gamma函数的形式：$\Gamma(s) = \int_{0}^{\infty} u^{s-1}e{-u}du$，这里$s-1 = -\frac{1}{2}$，也就是$s=\frac{1}{2}$，而我们知道$\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}$
• 代入后结果就是：
  $$
  \frac{1}{2h} \cdot \sqrt{\pi} = \frac{\sqrt{\pi}}{2h}
  $$
  和第一种方法完全一致~

补充：标准高斯积分的推导 #

如果你好奇$\int_{0}^{\infty} e^{-t2}dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$怎么来的，可以用平方后转极坐标的技巧：

• 令$I = \int_{0}^{\infty} e^{-t2}dt$，那么$I^2 = \int_{0}^{\infty} e^{-x2}dx \cdot \int_{0}^{\infty} e^{-y2}dy = \int_{0}^{{\infty}\int_{0}}{\infty} e^{-(x2+y^2)}dxdy$
• 转换为极坐标：$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$dxdy = r dr d\theta$，积分区域是第一象限，所以$r$从0到∞，$\theta$从0到$\frac{\pi}{2}$
• 代入后：
  $$
  I^2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_{0}^{\infty} e^{-r2} \cdot r dr
  $$
• 先算关于$r$的积分：令$v = r^2$，$dv = 2r dr$，则$\int_{0}^{\infty} e^{-v} \cdot \frac{dv}{2} = \frac{1}{2}$
• 再算关于$\theta$的积分：$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta = \frac{\pi}{2}$
• 所以$I^2 = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{4}$，因为$I$是正数，开平方得$I = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sayan Bhattacharya