管状邻域的上同调与原流形上同调的同构性疑问
给定 $k<n$，设 $M$ 是一个嵌入在某欧氏空间中的 $n$ 维光滑紧致定向带边流形，$V$ 是 $M$ 的一个开管状邻域。请问上同调群 $H^k(V)$ 是否与 $H^k(M)$ 同构？
我的思路是：因为 $V$ 是 $M$ 的管状邻域，所以它应该可以形变收缩到 $M$ 上，但我不确定是否需要用到紧支集上同调——毕竟 $V$ 是开流形。另外我也不知道是否能直接推出 $Hk(V)=H_ck(V)$，进而得到同构关系...
嘿，你的思路其实已经摸到关键点啦！咱们一步步捋清楚：
管状邻域的核心性质：它确实可以形变收缩到原流形 $M$ 上——不管 $M$ 带不带边，只要是光滑流形在欧氏空间中的嵌入，开管状邻域都存在这样的形变收缩。这是管状邻域定理的直接结论，这个形变收缩是一个连续的同伦，能把整个 $V$ 慢慢“缩”回 $M$。
同伦不变性解决核心疑问：你担心的紧支集上同调问题其实没必要纠结，因为形变收缩诱导的是普通上同调群的同构！上同调是同伦不变量——如果两个拓扑空间是同伦等价的（比如这里 $V$ 和 $M$ 通过形变收缩同伦等价），那么它们所有维数的上同调群都是同构的，不管空间是不是紧致。
关于紧支集的额外说明：你提到的 $Hk(V)=H_ck(V)$ 其实不一定成立，比如当 $k=n$ 时，$H^n(V)$ 是零（因为 $V$ 是开的 $n$ 维非紧流形，普通上同调的最高维数群为零），但 $H_c^n(V)$ 会和 $\mathbb{Z}$ 同构（因为 $V$ 是定向的，紧支集上同调的最高维数群对应定向群）。不过题目里限定了 $k<n$，而且咱们前面靠同伦等价已经能直接得出结论，完全不需要绕这个弯子。
总结一下：你的初始思路是完全正确的，管状邻域形变收缩到 $M$，同伦等价直接带来 $H^k(V)\cong H^k(M)$ 的结论~
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Porcupine
